Verkehrsschild-Größe neben einer Straße
Wenn Sie an einem Verkehrsschild vorbei fahren, gibt es einen Punkt, an dem Ihnen das Verkehrsschild am größten erscheint.
![Bild "Wissenschaft:Verkehrsschild_Serie.jpg"](/kategorien/Wissenschaft/dateien/Verkehrsschild_Serie.jpg)
Foto: Dirk Brunner; Lizenz: CC BY SA 3.0
Mathematisch formuliert lautet die Aufgabe: Bei welchem Abstand c (Beobachter-Verkehrsschild) erscheint beim fahren auf der Straße c ein Verkehrsschild a am größten? Der Abstand zur Straße ist b.
Skizze
(Ansicht von oben)![Bild "Bilder:MatheFormel041.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel041.gif)
Für den Betrachter erscheint das Verkehrsschild am größten, wenn α (alpha) am größten ist.
Es gilt:
![Bild "Bilder:MatheFormel029.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel029.gif)
Daraus folgt:
![Bild "Bilder:MatheFormel051.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel051.gif)
Finden der Extrema (Maximum oder Minimum) mit Hilfe der 1. Ableitung:
![Bild "Bilder:MatheFormel028.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel028.gif)
![Bild "Bilder:MatheFormel038.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel038.gif)
Für ein Extrema wird die 1. Ableitung auf Null gesetzt, woraus folgt:
![Bild "Bilder:MatheFormel030.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel030.gif)
Nach Umformung und ausmultiplizieren (Nenner ungleich Null):
![Bild "Bilder:MatheFormel004.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel004.gif)
Nach Kürzen:
![Bild "Bilder:MatheFormel043.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel043.gif)
Lösung durch auflösen nach c
![Bild "Bilder:MatheFormel046_big.gif"](/kategorien/Bilder/dateien/MatheFormel046_big.gif)
Die Lösung lässt sich auf ähnliche Aufgaben übertragen. Denken Sie beispielsweise an eine Kamera neben einem Förderband, welche die Ware abtastet.
(Hinweise: Das Extrema ist ein Maximum, da bei durchschreiten des Extremas auf der c-Achse ein Vorzeichenwechsel von + ("bergauf") zu – ("bergab") stattfindet. Betrachten Sie dazu einfach die Randwerte der 1. Ableitung. Alternativ 2te Ableitung benutzen. Die Höhe des Schildes wurde nicht beachtet.)
Beispiel
a = 60cmb = 3m (Senkrechter Abstand Auge zum Verkehrsschild)
Daraus folgt: c = 3,3m