Optimale Lampenhöhe für maximale Beleuchtungsstärke berechnen

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Eine Lampe soll über Punkt B (z.B. Esstisch) so aufgehängt werden, dass die Beleuchtungsstärke bei Punkt A (z.B. Tischrand) maximal ist. Damit wäre die optimale Lampenposition mit maximaler Helligkeit am Tischrand gefunden.
In welcher Höhe h über dem Tisch muss die Lampe aufgehängt werden?

Skizze

Die Beleuchtungsstärke ist proportional zu und der projizierten Fläche .
Somit gilt: Beleuchtungsstärke . k ist ein Proportionalitätsfaktor.

Weiterhin gilt: .
Beleuchtungsstärke: .


Bilden der 1. Ableitung um das Maximum zu finden:
.


Damit die 1. Ableitung Null wird, muss der Zähler null sein.

Es folgt für das Extrema:

.
(Hinweis: Das Extrema ist ein Maximum, da bei durchschreiten des Extremas auf der h-Achse ein Vorzeichenwechsel von + ("bergauf") zu – ("bergab") stattfindet. Alternativ 2te Ableitung benutzen.)

Daraus ergibt sich die optimale Lampenhöhe zu:

.

Beispiel "Lampe über einem Tisch"

h = 70 cm über dem Tisch, wenn der Tisch einen Durchmesser von 2 Meter (a = 100 cm) besitzt.

Viel Spaß beim Lampe aufhängen.